เมนูนำทาง
คาร์ล ไวเออร์ชตราส
ในสมัยก่อนหน้าไวเออร์ชตราส ยังมีข้อถกเถียงกันในเรื่องการนิยามเกี่ยวกับหลักมูลฐานในวิชาแคลคูลัสให้เหมาะสมและรัดกุม ซึ่งความกำกวมนี้ส่งผลให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทในแคลคูลัสไม่สามารถทำได้อย่างรัดกุม ในต้นปี ค.ศ. 1817 แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน ได้เสนอแนวคิดในการนิยามโดยใช้ลิมิตของฟังก์ชัน แต่ผลงานชิ้นนี้ยังไม่เป็นที่แพร่หลายจนกระทั่งอีกหนึ่งปีต่อมา แต่อย่างไรก็ดี ความไม่ชัดเจนถึงนิยามของลิมิตของฟังก์ชันและนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็ยังคงมีอยู่ จนในคริสต์ทศวรรษ 1820 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี (Augustin-Louis Cauchy) ได้เสนอนิยามใหม่เกี่ยวลิมิตที่อยู่ในรูปแบบของ ( ε , δ ) {\displaystyle (\varepsilon ,\delta )} ((ε, δ) -definition of limit)[2][3]แต่นิยามนี้ก็ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างความต่อเนื่องที่จุดกับความต่อเนื่องเอกรูปบนช่วงได้ ทำให้โกชีได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ผิดพลาดออกไป ในปี ค.ศ. 1821 ในผลงานชื่อ Cours d'analyse โดยกล่าวว่า ลิมิตของจุด (pointwise limit) ของลำดับของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเป็นจุด (pointwise continuous function) นั้นต่อเนื่องแบบจุด (pointwise continuous) ต่อมา โฌแซ็ฟ ฟูรีเย และนีลส์ เฮนริก อาเบล ตรวจพบตัวอย่างที่ขัดแย้งในเรื่องอนุกรมฟูรีเย ซึ่งในที่สุด เพเทอร์ กุสทัฟ เลอเฌิน ดีรีเคล (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) ก็พบว่าแท้จริงแล้วคำกล่าวที่ว่า การลู่เข้าแบบจุดควรจะเป็นการลู่เข้าแบบเอกรูปมากกว่า กล่าวคือ ลิมิตเอกรูป (uniform limit) ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องอย่างเป็นเอกรูป (uniformly continuous function) นั้นก็ยังคงต่อเนื่องอย่างเอกรูป (uniformly continuous)
คริสท็อฟ กูเดอร์มัน อาจารย์ที่ปรึกษาของไวเออร์ชตราส เล็งเห็นถึงความสำคัญในหลักการเกี่ยวกับการลู่เข้าอย่างเอกรูปเป็นคนแรก ในผลงานปี ค.ศ. 1838 ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันอิลลิปติก กูเดอร์มันได้กล่าวถึงปัญหานี้แต่ไม่ได้ให้นิยามอย่างเป็นทางการแต่อย่างไร ในปี ค.ศ. 1839–1840 ไวเออร์ชตราสได้เข้าเรียนในวิชาฟังก์ชันอิลลิปติก จึงได้เริ่มสนใจเรื่องนี้ และตีพิมพ์ผลงานชื่อ Zur Theorie der Potenzreihen ในปี ค.ศ. 1841 และมีการบัญญัติศัพท์ใหม่คือ การลู่เข้าเอกรูป (อังกฤษ: uniformly convergent; เยอรมัน: gleichmäßige Konvergenz) ในงานชิ้นนี้ ไวเออร์ชตราสได้สร้างนิยามใหม่ขึ้นให้มีความรัดกุมมากกว่าเดิมและต่อมาได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง โดยที่ไวเออร์ชตราสได้ให้นิยามไว้ดังนี้
f ( x ) {\displaystyle \displaystyle f(x)} ต่อเนื่องที่ x = x 0 {\displaystyle \displaystyle x=x_{0}} ถ้า ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 {\displaystyle \displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0} โดยที่ ∀ | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε . {\displaystyle \displaystyle \forall \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}
โดยใช้นิยามนี้และแนวคิดเรื่องการลู่เข้าอย่างเอกรูป ไวเออร์ชตราสจึงสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเช่นทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem, บ็อลท์ซาโนได้พิสูจน์อย่างรัดกุมก่อนหน้านั้นไปแล้ว), ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน–ไวเออร์ชตราส (Bolzano–Weierstrass theorem) และทฤษฎีบทไฮเนอ–บอแรล (Heine–Borel theorem)
ผลงานจำนวนมากของไวเออร์ชตราสได้รับการสานต่อในการศึกษาแคลลูลัสของการแปรผันสมัยใหม่ หนึ่งในตัวอย่างที่สำคัญคือ ไวเออร์ชตราสได้เสนอเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของ strong extrema และยังมีส่วนในการเสนอเงื่อนไขไวเออร์ชตราส–แอร์ทมัน (Weierstrass–Erdmann condition) ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ว่า อนุพันธ์ย่อย ∂ f / ∂ x {\displaystyle \partial f/\partial x} ของ J = ∫ f ( t , x , y ) d t {\displaystyle J=\int f(t,x,y)\,dt} จะต้องต่อเนื่องที่มุมใด ๆ
เมนูนำทาง
คาร์ล ไวเออร์ชตราสใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: คาร์ล ไวเออร์ชตราส